排列的定義及其計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個(gè)元素按照一定的順

所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。組合則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序。

排列組合計(jì)算公式，如下：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個(gè)不同的元素按照一

工具/材料

紙，筆

操作方法

接下來(lái)我們先來(lái)看看排列的基本公式；

排列的定義及其計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個(gè)元素按照一定的順

再看看組合的基本公式;

1、排列組合中，組合的計(jì)算公式為：2、計(jì)算舉例：擴(kuò)展資料：一個(gè)正整數(shù)的階乘，是所有小于及等

接下來(lái)就小試牛刀的來(lái)做兩個(gè)例題；

排列組合計(jì)算公式，如下：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個(gè)不同的元素按照一

如下圖所示，就是解排列題方法和步驟；

的階乘 組合的公式 是 用C來(lái)表示 的 http://baike.baidu.com/view/738955.htm 排列:從 按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 組合:從n個(gè)不

如下圖所示，就是解組合題方法和步驟。

如果只有一個(gè)組合 C(4,1)*C(4,1)--4個(gè)人選擇一個(gè),再?gòu)?個(gè)情況選擇一種 如果有兩種組合 C(4,2)*C(4,1)--4個(gè)人選擇兩個(gè),再?gòu)?個(gè)情況選擇一種 如果有三種組合 C(4,3)*C(4,1)

擴(kuò)展閱讀，以下內(nèi)容您可能還感興趣。

排列組合的基本公式。

列組合公式/排列組合計(jì)算公式

排列 p------和順序有關(guān)

組合 c -------不牽涉到順序的問(wèn)題

排列分順序,組合不分

例如 把5本不同的書分給3個(gè)人,有幾種分法. "排列"

把5本書分給3個(gè)人,有幾種分法 "組合"

1．排列及計(jì)算公式

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).

2．組合及計(jì)算公式

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)

c(n,m) 表示.

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

3．其他排列與組合公式

從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k類元素,每類的個(gè)數(shù)無(wú)限,從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).

排列（pnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))）

pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；pnm=n！/（n-m）?。ㄗⅲ?！是階乘符號(hào)）；pnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)） =n??；0！=1；pn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n

組合（cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))）

cnm=pnm/pmm ；cnm=n！/m！（n-m）??；cnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)） =1 ；cn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n；cnm=cnn-m

2008-07-08 13:30

公式p是指排列，從n個(gè)元素取r個(gè)進(jìn)行排列。公式c是指組合，從n個(gè)元素取r個(gè)，不進(jìn)行排列。n-元素的總個(gè)數(shù) r參與選擇的元素個(gè)數(shù) ！-階乘 ，如 9?。?*8*7*6*5*4*3*2*1

從n倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n－（n-r+1)＝r

舉例：

q1: 有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問(wèn)，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？

a1: 123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列p”計(jì)算范疇。

上問(wèn)題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式＝p（3，9)＝9*8*7,(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）

q2: 有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問(wèn)，如果三個(gè)一組，代表“三國(guó)聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國(guó)聯(lián)盟”？

a2: 213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合c”計(jì)算范疇。

上問(wèn)題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)c(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列、組合的概念和公式典型例題分析

　　例1 　設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組．（1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；（2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加．各有多少種不同方法？

解（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不*每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法．

?。?）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有 種不同方法．

　　點(diǎn)評(píng) 由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問(wèn)都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算．

例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種？

　　解 依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排 、 、 中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：

　　　　∴ 符合題意的不同排法共有9種．

　　點(diǎn)評(píng) 按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理．為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型．

　　例3　判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？并計(jì)算出結(jié)果．

　?。?）高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：①每?jī)扇嘶ネㄒ环庑?，共通了多少封信？②每?jī)扇嘶ノ樟艘淮问?，共握了多少次手?p>　?。?）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：①?gòu)闹羞x一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？

　?。?）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：①?gòu)闹腥稳蓚€(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？

　?。?）有8盆花：①?gòu)闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？

　　分析?。?）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；②由于每?jī)扇嘶ノ找淮问?，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題．其他類似分析．

　?。?）①是排列問(wèn)題，共用了 封信；②是組合問(wèn)題，共需握手 （次）．

　?。?）①是排列問(wèn)題，共有 （種）不同的選法；②是組合問(wèn)題，共有 種不同的選法．

　?。?）①是排列問(wèn)題，共有 種不同的商；②是組合問(wèn)題，共有 種不同的積．

　　（4）①是排列問(wèn)題，共有 種不同的選法；②是組合問(wèn)題，共有 種不同的選法．

　　例4　證明 ．

　　證明　 左式

　　　　　　　　　　　　 右式．

　　　　　∴ 等式成立．

　　點(diǎn)評(píng)　這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化．

　　例5　化簡(jiǎn) ．

　　解法一　原式

　　解法二　原式

　　點(diǎn)評(píng) 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化．

　　例6　解方程：（1） ；（2） ．

　　解 （1）原方程

　　　　　　　　　　　　　　 解得 ．

　　　　（2）原方程可變?yōu)?p>　　　　　∵ ， ，

　　　　　∴ 原方程可化為 ．

　　　　　即 ，解得

第六章 排列組合、二項(xiàng)式定理

一、考綱要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.

二、知識(shí)結(jié)構(gòu)

三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示

(一)加法原理乘法原理

說(shuō)明 加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問(wèn)題提供了理論根據(jù).

例1 5位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種?

解： 5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的 報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有

3×3×3×3×3=35(種)

(二)排列、排列數(shù)公式

說(shuō)明 排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特，它研 究的對(duì)象以及研 究問(wèn)題的方法都和前面掌握的知識(shí)不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查.

例2 由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶數(shù)共有( )

a.60個(gè) b.48個(gè) c.36個(gè) d.24個(gè)

解 因?yàn)橐猠69da5e6ba90e79fa5e9819331333335316532求是偶數(shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有p12；小于50 000的五位數(shù)，萬(wàn)位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有p13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有p33，得p13p33p12＝36(個(gè))

由此可知此題應(yīng)選c.

例3 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?

解： 將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對(duì)應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對(duì)應(yīng)3種填法，因此共有填法為

3p13=9(種).

例四　例五可能有問(wèn)題，等思考

三)組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

說(shuō)明 歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查排列組合的應(yīng)用題，且基本上都是由選擇題或填空題考查.

例4 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有( )

a.140種 b.84種 c.70種 d.35種

解： 抽出的3臺(tái)電視機(jī)中甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)的取法有c14·c25種；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)的取法有c24·c15種

根據(jù)加法原理可得總的取法有

c24·c25+c24·c15=40+30=70(種 )

可知此題應(yīng)選c.

例5 甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1 項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，問(wèn)共有多少種承包方式?

解： 甲公司從8項(xiàng)工程中選出3項(xiàng)工程的方式 c38種；

乙公司從甲公司挑選后余下的5項(xiàng)工程中選出1項(xiàng)工程的方式有c15種；

丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有c24種；

丁公司從甲、乙、丙三個(gè)公司挑選后余下的2項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有c22種.

根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有c3 8×c15×c24×c22= ×1=1680(種).

(四)二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)

說(shuō)明 二項(xiàng)式定理揭示了二項(xiàng)式的正整數(shù)次冪的展開法則，在數(shù)學(xué)中它是常用的基礎(chǔ)知識(shí) ，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項(xiàng)展開式中通項(xiàng)公式等，題型主要為選擇題或填空題.

例6 在(x- )10的展開式中，x6的系數(shù)是( )

a.-27c610 b.27c410 c.-9c610 d.9c410

解 設(shè)(x- )10的展開式中第γ+1項(xiàng)含x6，

因tγ+1=cγ10x10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4

于是展開式中第5項(xiàng)含x 6，第5項(xiàng)系數(shù)是c410(- )4=9c410

故此題應(yīng)選d.

例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)5的展開式中的x2的系數(shù)等于

解：此題可視為首項(xiàng)為x-1，公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項(xiàng)的和，則其和為

在(x-1)6中含x3的項(xiàng)是c36x3(-1)3=-20x3，因此展開式中x2的系數(shù)是-2 0.

(五)綜合例題賞析

例8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為( )

a.1 b.-1 c.0 d.2

解：a.

例9 2名醫(yī)生和4名*被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2 名*，不同的分配方法共有( )

a.6種 b.12種 c.18種 d.24種

解 分醫(yī)生的方法有p22＝2種，分*方法有c24=6種，所以共有6×2＝12種不同的分配方法。

應(yīng)選b.

例10 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其 中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同取法共有( ).

a.140種 b.84種 c.70種 d.35種

解：取出的3臺(tái)電視機(jī)中，甲型電視機(jī)分為恰有一臺(tái)和恰有二臺(tái)兩種情形.

∵c24·+c25·c14=5×6+10×4=70.

∴應(yīng)選c.

例11 某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2 名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有( )

a.27種 b.48種 c.21種 d.24種

解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類：

∵c13·c1 7+c23=3×7+3=24，

∴應(yīng)選d.

例12 由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的 六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( ).

a.210個(gè) b.300個(gè)

c.464個(gè) d.600個(gè)

解：先考慮可組成無(wú)*條件的六位數(shù)有多少個(gè)?應(yīng)有p15·p 55=600個(gè).

由對(duì)稱性，個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個(gè)位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.

∴有 ×600=300個(gè)符合題設(shè)的六位數(shù).

應(yīng)選b.

例13 以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的 四面體共有( ).

a.70個(gè) b.64個(gè)

c.58個(gè) d.52個(gè)

解：如圖，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任取4個(gè)的組合數(shù)為c48=70個(gè).

其*面四點(diǎn)分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對(duì)角面的有2組；形如(adb1c1 )的有4組.

∴能形成四面體的有70-6-2-4=58(組)

應(yīng)選c.

例14 如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”，那么六棱 錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有( ).

a.12對(duì) b.24對(duì)

c.36對(duì) d.48對(duì)

解：設(shè)正六棱錐為o—abcdef.

任取一側(cè)棱oa(c16)則oa與bc、cd、de、ef均形成異面直線對(duì).

∴共有c16×4=24對(duì)異面直線.

應(yīng)選b.

例15 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形共 個(gè)(以數(shù)字作答).

解：7點(diǎn)中任取3個(gè)則有c37=35組.

其中三點(diǎn)共線的有3組(正六邊形有3條直徑).

∴三角形個(gè)數(shù)為35-3=32個(gè).

例16 設(shè)含有10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為s，其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為t，則 的值為 。

解 10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)有：

s＝c010+c110+c210+c310+c410+c510+c610+c710+c810+c910+c1010=2 10=1024

其中，含3個(gè)元素的子集數(shù)有t=c310=120

故 =

例17 例17 在50件產(chǎn)品 n 中有4件是次品，從中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共

種(用數(shù)字作答).

解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

∴c34·c246+c44·c146=4186(種)

例18 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、 丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有( ).

a.1260種 b.2025種

c.2520種 d.5040種

解：先從10人中選2個(gè)承擔(dān)任務(wù)甲(c210)

再?gòu)氖Ｓ?人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙(c1 8)

又從剩余7人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙(c1 7)

∴有c210·c1 8c1 7=2520(種).

應(yīng)選c.

例19 集合｛1，2，3｝子集總共有( ).

a.7個(gè) b.8個(gè) c.6個(gè) d.5個(gè)

解 三個(gè)元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一個(gè)，由一個(gè)元素組成的子集數(shù)

c13，由二個(gè)元素組成的子集數(shù)c23。

由3個(gè)元素組成的子集數(shù)c33。由加法原理可得集合子集的總個(gè)數(shù)是

c13+c23+c33+1=3+3+1+1＝8

故此題應(yīng)選b.

例20 假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有兩件次品的抽法有( ).

a.c23c3197種 b.c23c3197 +c33c2197

c.c5200-c5197 d.c5200-c 13c4197

解：5件中恰有二件為次品的抽法為c23c3197，

5件中恰三件為次品的抽法為c33c2197，

∴至少有兩件次品的抽法為c23c3197+c33c2197.

應(yīng)選b.

例21 兩排座位，第一排有3個(gè)座位，第二排有5個(gè)座位，若8名學(xué)生入座(每人一個(gè)座位)，則不同座法的總數(shù)是( ).

a.c58c38 b.p12c58c38　　　c.p58p38追問(wèn)能否簡(jiǎn)單點(diǎn)？追答(一)兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)

(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不同方法．

(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn種不同的方法．

(二)排列和排列數(shù)

(1)排列：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．

從排列的意義可知，如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€(gè)排列是否相同的方法．

(2)排列數(shù)公式：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列

當(dāng)m＝n時(shí)，為全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！

(三)組合和組合數(shù)

(1)組合：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．

從組合的定義知，如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．

(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)

這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的．本回答被提問(wèn)者采納

排列組合的公式

排列的定義及其計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1）（n-2）……（n-m+1）= n!/(n-m)! 此外規(guī)定0!=1

排列組合

組合的定義及其計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m）∧2/m!=A(n,m)/m??；? C(n,m)=C(n,n-m）。（其中n≥m)

其他排e68a847a686964616f31333365666263列與組合公式 從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k類元素，每類的個(gè)數(shù)無(wú)限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為C(m+k-1,m）。

擴(kuò)展資料

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

⒉、第一類辦法的方法屬于集合A1，第二類辦法的方法屬于集合A2，……，第n類辦法的方法屬于集合An，那么完成這件事的方法屬于集合A1UA2U…UAn。

⒊、分類的要求 ：每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類（即分類不漏）。

⑵乘法原理和分步計(jì)數(shù)法

⒈、 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。

⒉、合理分步的要求

任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同。

參考資料：排列組合的百度百科

排列組合公式是什么，舉例說(shuō)一下謝謝怎么計(jì)算

排列的定義及其計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做7a686964616fe58685e5aeb931333431336161從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外規(guī)定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1

組合的定義及其計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m?。籆(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)

其他排列與組合公式 從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k類元素，每類的個(gè)數(shù)無(wú)限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為C(m+k-1,m）。

排列組合中A和C怎么算啊

計(jì)算方法如下：

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n為下標(biāo),m為上標(biāo),以下同)

組合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!；

例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

基本理論和公式

排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無(wú)關(guān)。如231與213是兩個(gè)排列，2+3+1的和與2+1+3的和是一個(gè)組合。

(一)兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)

(1)加法原理：做一件事，完成7a64e4b893e5b19e31333365666263它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法?！?/p>

這里要注意區(qū)分兩個(gè)原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問(wèn)題，第一類中的方法都是獨(dú)立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開來(lái)。

(二)排列和排列數(shù)

(1)排列：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．

從排列的意義可知，如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€(gè)排列是否相同的方法．

(2)排列數(shù)公式：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列

當(dāng)m=n時(shí)，為全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1=n！

參考資料：百度百科--排列數(shù)公式

排列組合的計(jì)算方法

組合用符號(hào)C(n,m)表示，m≦n。

公式是：C(n,m)=A(n,m)/m!　或　C(n,m)=C(n,n-m)。

例如：C(5,3)=A(5,3)/[3!x(5-3))!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10.

排列用符號(hào)A(n,m)表示，m≦n。

計(jì)算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)!

此外規(guī)定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2)…1

例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。

擴(kuò)展資料：

1、假設(shè)C(n-1,k）和C(n-1,k-1）為奇數(shù)：

則有：（n-1）&k == k;

（n-1）&(k-1） == k-1;

由于k和k-1的最后一位（在這里的位指的是二進(jìn)制的位，下同）必然是不同的，所以e68a84e8a2ade799bee5baa631333431356661n-1的最后一位必然是1。

現(xiàn)假設(shè)n&k == k。

則同樣因?yàn)閚-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

因?yàn)閚-1的最后一位是1，則n的最后一位是0，所以n&k != k，與假設(shè)矛盾。

所以得n&k != k。

2、假設(shè)C(n-1,k）和C(n-1,k-1）為偶數(shù)：

則有：（n-1）&k != k;

（n-1）&(k-1） != k-1;

現(xiàn)假設(shè)n&k == k.

則對(duì)于k最后一位為1的情況：

此時(shí)n最后一位也為1，所以有（n-1）&(k-1） == k-1，與假設(shè)矛盾。

而對(duì)于k最后一位為0的情況：

則k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意個(gè)0。

相應(yīng)的，n對(duì)應(yīng)的部分為：1{*}*; *代表0或1。

而若n對(duì)應(yīng)的{*}*中只要有一個(gè)為1，則（n-1）&k == k成立，所以n對(duì)應(yīng)部分也應(yīng)該是10。

則相應(yīng)的，k-1和n-1的末尾部分均為01，所以（n-1）&(k-1） == k-1 成立，與假設(shè)矛盾。

所以得n&k != k。

由1）和2）得出當(dāng)C(n,k）是偶數(shù)時(shí)，n&k != k。

3、假設(shè)C(n-1,k）為奇數(shù)而C(n-1,k-1）為偶數(shù)：

則有：（n-1）&k == k;

（n-1）&(k-1） != k-1;

顯然，k的最后一位只能是0，否則由（n-1）&k == k即可推出（n-1）&(k-1） == k-1。

所以k的末尾必有一部分形如：10;

相應(yīng)的，n-1的對(duì)應(yīng)部分為：1{*}*;

相應(yīng)的，k-1的對(duì)應(yīng)部分為：01;

則若要使得（n-1）&(k-1） != k-1 則要求n-1對(duì)應(yīng)的{*}*中至少有一個(gè)是0.

所以n的對(duì)應(yīng)部分也就為 ：1{*}*; （不會(huì)因?yàn)檫M(jìn)位變1為0)

所以 n&k = k。

參考資料來(lái)源：百度百科-排列組合